Livro: "Tópicos Matemáticos: Geometrias"

No presente texto, apresentamos uma breve introdução às geometrias não euclidianas. Começamos por apresentar os fundamentos da geometria clássica, e a discussão que deu origem a outras geometrias.Vemos um exemplo muito antigo de uma tentativa de provar o quinto postulado de Euclides devido ao Proclus e retomar parte do trabalho de Sacheri, e depois continuar com as conquistas de Lobachevski.Em termos simples, a geometria a que estamos acostumados, que é a que nos ensinam os estudos básicos, é a chamada geometria clássica, que segue certas idéias que são tomadas como fatos verdadeiros e a partir dela se constrói a veracidade de outros fatos. Em particular, o quinto postulado estabelece a existência de linhas que são chamadas paralelas, que são aquelas que nunca se cruzam.A geometria surgiu da necessidade de compreender o mundo ao nosso redor, e daí surgiram os axiomas da geometria euclidiana, mas eles não eram inteiramente precisos. Por exemplo, na arte vemos que as linhas paralelas são por vezes representadas como linhas que se intersectam no horizonte, no chamado ponto de fuga.Além das geometrias não euclidianas, vemos outros exemplos de geometria, os chamados frisos e mosaicos.